为什么需要证明「1+1=2」？

现实生活无时无地不在证明1+1=2.

为什么需要证明「1+1=2」？

对于一楼的回答我有些不能认同，1+1=2不需要证明？我原来也想过，谁会去证明这么无聊的问题，可是学了高等数学就会发现自己太naive了。

数学是数学家构造出来的一个世界，那么自然数的构造就是数学世界的开天辟地。

我思考1+1为什么等于2实际上是在思考为什么自然数列是连续的。为什么99之后不是0?或者

甚至是这样的：

皮亚诺公理

意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面。

皮亚诺的这六条公理用非形式化的方法叙述如下：

• Ⅰ 0是自然数；
• Ⅱ 每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a" ，a"也是自然数（数a的后继数a"就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1"=2，2"=3等等。）

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

• Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。

• Ⅳ如果自然数b是自然数a的后继数，c=b，那么自然数c是自然数a的后继数，同一个自然数的后继数都相等；
• Ⅴ如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

• Ⅵ设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n"∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。

若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

加法的定义我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：Ⅰ ∀m∈N，0 +m =m；Ⅱ ∀m，n∈N，n" +m = （n +m）"。有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。1+1=2

1 + 1

= 0’ + 1 （根据自然数的公理）

= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）

= 1’ （根据加法定义Ⅰ）

= 2 （根据自然数的公理）

自然数和加法是数学世界的根基（当然还有集合论等，忍不住还是严谨一下），在这个基础上数学世界越来越辉煌，如果1+1不等于2了，那也许整个数学界的理论就靠不住了，所以，这就是为什么需要证明“1+1=2”

为什么需要证明「1+1=2」？

还从来没有在任何一个权威著作或学术论文中提到过1+1=2需要证明的！

这个根本就不需要证明。只需要定义。定义和证明是两回事。正如同10的0次方，10^0=1一样，它是规定的或者说叫定义的。

关于什么叫自然数，它的严格定义是在很晚的时候才出来。距离现在也才100多年，叫序数理论。以下引用自百度百科。

序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

为什么需要证明「1+1=2」？

1+1=2虽然非常直观(感觉上是直观，其实并不直观)，但是确实不是公理，而且把它当作公理缺乏外延性，就是说没法扩展，比如，没法由1+1=2证明1-1=0，等等。

1+1=2实际上需要有自然数的完备性作为前提，如果自然数不完备，比如说没有下面的前提条件，任何自然数加1，还是自然数，而且是它的后继自然数，2刚好是1的后继自然数，还有0不是任何自然数的后继数等等条件，那么就很难说1+1是不是等于2，这在逻辑上并不难明白，所以其实自然数的完备性，才是最基础的公理，这就是皮亚诺的自然数完备性公理。而1+1=2就变成这个自然数完备性公理的推论，那么，自然数完备性公理是不是还有更加基本的公理体系，作为它的基础，没有了，因为人们确实没法证明自然数为什么完备，所以只能把它定为公理。

由此可知，某个大家公认的事实，究竟是公理，还是定理、推论或者命题。要看这个事实(尽管人所公知)，是不是最基本的，是不是需要有前提，比如为什么1+1=2，就需要有自然数的完备性作为条件，不够基本，不能自然成立，所谓“不证自明”(公理的通俗解释)，就是不需要任何前提条件，或者至少人们看不出需要有什么前提条件，才能成立。

另一个成为公理的条件，是必须具有很好的外延性，就是说可以由它经过一系列推导，推出一系列更高层次的定理、命题和推论，从而可以构成一个体系。这两个条件1+1=2都不满足，因此，1+1=2就不能成为作为数学基础的基本公理，而是自然数完备性公理的一个推论。

为什么需要证明「1+1=2」？

没人说要证明1+1=2， 提问者很可能误解了数论中的哥德巴赫猜想1+1，表示任意大于2的偶数都可以写成两个质数之和。1表示只含一个素因子的质数。否则没有必要来这里一问。

说点别的更有意义的。我在16岁时就发现了一个数学系统，称为广泛映射数学系统，或同构数学分析系统。在里面定义的基础加法(广泛加法，或同构加法)是加法的广泛或广义形式。取决于系统的特征同构映射，加法结果可以是任意实数。包括1+1=3。广泛加法有其物理实际意义，用来表示同类因素量合成同类总效应量。例如两个噪声合成一个噪声，其分贝数值不是简单加法，也不是乘法，而可以用广泛加法来表示。

当特征同构映射是对数函数时，加法就变成我们熟知的乘法。实例就是一个正方体和一条第四维的高在四维空间合成一个四维超长方体，其四维体积是正方体体积和那条一维的高相乘而合成的(相乘在这里就是广泛意义上的加法)。与此对应的积分变为乘积分。其公式和牛顿莱布尼兹公式很像的，都是“第一类广泛定积分”的特例。(不是第二类，第二类另有说法和意义。)

同构数学分析系统可以在非笛卡尔的同构数轴系统上表达。在这样的坐标系里你可以直观的看到1+1=3，还可以直观的比较不同种类的平均值。例如你可以看到两数的几何平均值小于其算术平均值。这个结论是常识，但也是本论中《同构凸函数》所谓同构凸性的系统推论！

由于任何期刊和网媒拒绝我以一个整体体系来发表《同构数学分析》或《广泛映射数学系统》，我把它分解成三部分发表。

有兴趣的朋友可以百度搜索下载《论广泛四则运算和同构微积分》《论第二类同构微积分》《论广泛平均值和双变量同构凸函数》，还有一篇是简化的《论双变量同构凸函数》。共四篇论文。

《同构数学分析》完美的统一了数学中常见的绝大多数平均值，也给出了(一部分)统一的平均值比较法则(不是全部)。系统提出了函数的5类同构平均值(广泛平均值)来统一函数的平均值。

知道吗？正弦函数在0到pi之间的几何平均值是1/2！ 正切函数在0到pi/2之间的几何平均值是1！(开区间)。

我是从16岁那年开始发现此系统的，后面坎坎坷坷到31岁才做完此系统。确实来之不易，获得广泛认可也还需时间。有兴趣的朋友可以关注一下。期待可以有更多的人来了解研究，来丰富它。我一个人的力量是有限的。愿这篇传奇式的中国人创立的初高等数学体系可以发扬光大，写进我们孩子的高等数学教科书！

为什么需要证明「1+1=2」？

一个傻子提的问题，一群公知争相回答，实际上是题主把哥德巴赫猜想简单的理解为1+1=2，人家“1+1”是个代名词。哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。